Funciones Algebraicas y Racionales

En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito);

Además se usa el término función para describir la dependencia de una cantidad sobre otra. 

o La altura es una función de la edad.

o La temperatura es una función de la fecha.

o El costo de enviar por correo un paquete es una función del peso. Una función puede considerarse como una correspondencia de un conjunto X de números reales x a un conjunto Y de números reales y, donde el número y es único para cada valor especifico de x.

Para que sea mas clara y completa esta definición veamos este video acerca de las funciones.

Tipos De Funciones

Existen muchos tipos de funciones, ahora veremos algunas de estas

1. Funciones Algebraicas

En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.

Las funciones algebraicas pueden ser:

Funciones explícitas

Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.

f(x) = 5x − 2

Funciones implícitas

Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.

5x − y − 2 = 0

1.1 Funciones Polinómicas

Son las funciones que vienen definidas por un polinomio.

f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + a₂x³ +··· + a_nxⁿ

Su dominio es , es decir, cualquier número real tiene imagen.

1.1.1 Funciones constantes

El criterio viene dado por un número real.

f(x)= k

La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

1.1.2 Funciones polinómica de primer grado 

f(x) = mx + n

Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función.

1.1.3 Funciones Cuadráticas

f(x) = ax² + bx + c

Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.

1.2 Funciones Racionales

El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:

El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.

1.3 Funciones Radicales

El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.

El dominio de una función irracional de índice impar es R.

El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

Ahora especifiquemos un poco mas acerca de 

las Funciones Lineales y Funciones Racionales

Funciones Lineales

Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado.

La función lineal se define por la ecuación  f(x) = mx + b ó y = mx + b llamada ecuación canónica, en donde m es la pendiente de la recta y b es el intercepto con el eje y.

Funciones Racionales

Una función racional es aquella que se obtiene al dividir dos polinomios. Si P y Q son funciones polinomiales y f es la función definida por como:

De acuerdo como está definida la función, el dominio de f es el conjunto de los números reales excepto el cero (0). Esto implica que la función no tiene intercepción con el eje y. Como f(x) nunca es cero, la gráfica tampoco tiene intercepción con el eje x.

Se llaman funciones racionales propias aquellas en las que el grado del polinomio del numerador es menor que el del denominador, n < m.

Se llaman funciones racionales impropias aquellas en las que el grado del polinomio del numerador es mayor o igual que el del denominador, n ≥ m.

Asíntotas

Una asíntota es una recta a la cual la función se aproxima indefinidamente cuando x o f(x) tienden a infinito. Hay asíntotas verticales, horizontales y oblicuas

Asíntota Vertical

Las asíntotas verticales son rectas verticales a las cuales la función se va acercando indefinidamente sin llegar nunca a cortarlas. Son rectas de ecuación: x = k;  k son los puntos que no pertenecen al dominio de la función (en las funciones racionales).

Son raíces de la expresión algebraica que vuelven 0 el denominador, entonces, para hallar la asíntota vertical se iguala a 0 el denominador y se despeja la variable.

Se debe hallar en el caso de las funciones racionales propias e impropias (cuando el grado del numerador es igual al grado del denominador).

Asíntota Horizontal

Las asíntotas horizontales son rectas horizontales a las cuales la función se va acercando indefinidamente. Son rectas de ecuación: y = k.

Es el cociente de los coeficientes del término de mayor grado, tanto del denominador como del denominador.

Se debe hallar en el caso de las funciones impropias cuando el grado del numerador es igual al grado del denominador.

Asíntota Oblicua

Las asíntotas oblicuas son rectas de ecuación  para hallarla se divide el polinomio del numerador entre el polinomio del denominador, así obtenemos la ecuación de la recta.

Se debe hallar cuando la función es impropia y el grado del numerador es mayor que el grado del denominador.

Para finalizar esta entrada, dejamos unos ejemplos de funciones con sus respectivas soluciones y además con su gráfica correspondiente